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Dans la page précédente, nous avons calculé une température d’équilibre de la Terre comme si elle était isotherme et se comportait comme un corps noir. Cependant, une objection évidente vient à l’esprit : la Terre n’est pas du tout isotherme ! après tout, il fait quand même bien plus chaud à l’équateur qu’aux pôles. L’approximation d’une température uniforme est manifestement très exagérée.

Nous allons donc refaire le calcul de la température moyenne en supposant cette fois que chaque élément de surface du sol est chauffé localement par le Soleil, sans du tout interagir avec les autres, et donc que la conduction thermique de la Terre est nulle : ce que nous appellerons la Terre parfaitement isolante.

Une difficulté qui se présente alors est que, comme chacun sait, la Terre tourne ! un point particulier du sol est donc éclairé de manière différente au cours de la journée , et plus du tout la nuit, ce qui fait que sa température est variable au cours du temps ! Le problème ne se posait pas pour la Terre isotherme car tous les points partageaient la même température moyenne qui restait constante quelle que soit la rotation de la Terre (l’éclairement global étant le même). Mais ici, ça peut changer :  comment garde-t-il sa chaleur qu’il a emmagasiné dans la journée, par exemple ?

 

 La réponse est : c’est très compliqué ! là encore, pour simplifier, nous allons faire une hypothèse ultra-simple : qu’il se met instantanément à l’équilibre thermique en « oubliant » tout ce qui s’est passé avant. Tout ce calcul ne sera de toutes façons pas physique – il est juste intéressant pour en comprendre certains enseignements.

Dans ce cas, la réponse est assez simple : par suite d’une projection géométrique , la puissance reçue par unité de surface sur la Terre est égale à la puissance reçue par unité de surface perpendiculaire au Soleil, multipliée par un facteur cos θ que nous avons évoqué précédemment.

La température locale, en l’absence d’albedo, serait alors

σ T(θ) ^4 = Csol. cos θ = L cos θ /(4π.a^2) 

soit

T (θ) = (Csol. cos θ/ σ )^(1/4) = (L cos θ /( σ 4π.a^2) )^(1/4)

Si on tient compte de l’albedo supposé constant partout , on trouve alors

 

T (θ) = [Csol (1-A) cos θ/ σ ]^(1/4) = [L (1-A)cos θ /( σ 4π.a^2) ]^(1/4)

 

Cette fois la température dépend du lieu , comme l’indique la notation T (θ) (θ représente donc , rappelons-le, l'angle du Soleil par rapport au zénith).

Qualitativement, on voit que la température baisse si cos θ baisse, ce qui veut dire des rayons plus inclinés par rapport à la verticale: ce qui est la raison essentielle pour laquelle il fait plus chaud à midi que le matin et le soir, à l’Equateur qu’aux pôles, ou en été qu’en hiver (la différence de température suivant les saisons n’est absolument pas liée à une variation de la distance de la terre au Soleil, comme le savent probablement beaucoup de lecteurs) : simplement plus le Soleil est haut dans le ciel, plus il fait chaud – en général.

La température maximale mesurable est celle où le Soleil est au zénith, elle vaudrait Tmax= [Csol (1-A)/ σ ]^(1/4) = 357 K = 84°C. Le même calcul fait sur la Lune, à peu près à la même distance que le Soleil, mais avec un albedo bien plus faible (0,05, comparable à la peinture noire), donnerait une température de 388 K = 115°C, ce qui n'est pas loin de la valeur donnée par le wiki, rapportée par un de nos lecteurs (mais je ne sais pas si cette estimation est théorique ou réellement mesurée). Du coté de la nuit, et dès la tombée du jour, la Terre n’est plus du tout éclairée et dans ce modèle, la température la nuit devrait tomber instantanément au zéro absolu dès que le Soleil se couche ! Ce n’est bien sur pas du tout le cas, mais comprendre pourquoi est n’est pas inintéressant…

A cause de la rotation de la Terre sur son axe, l’angle θ en un lieu donné varie de manière compliquée au cours du temps (c’est l’inclinaison des rayons solaires par rapport à la verticale), suivant l’heure de la journée et la saison. La loi exacte de T en fonction du temps est donc tout aussi compliquée (mais elle est calculable). Cependant, il est inutile de la chercher en chaque point : en effet, nous ne nous intéressons qu’à sa valeur moyenne sur toute la Terre. Mais même si la Terre tourne, elle est globalement eclairée de la même manière à chaque instant (pour une distance supposée constante). La moyenne ne dépend donc pas du tout de son état de rotation : pour la calculer il faut simplement prendre la moyenne du facteur cos θ^1/4 (le seul facteur dans l’équation dépendant du lieu), sur toute la sphère.

Les lecteurs un peu scientifiques feront ce calcul sans problème ; les autres me feront confiance. La moyenne cherchée vaut :

< cos θ^1/4 > = 2/5= 0,4

Et donc la température moyenne vaut dans ce modèle :

T  = 0,4 [Csol (1-A)/ σ ]^(1/4) = 0,4 [L (1-A) /( σ 4π.a^2) ]^(1/4)

La comparaison avec l’expression pour la Terre isotherme est instructive : elle revient à remplacer le facteur numérique ¼^1/4 = 1/racine(2) = 0,707 par le facteur 0,4 , soit une réduction de la température absolue par un facteur environ 4/7 = 0,57.

Ceci fait quand même une grosse différence à la fin puisqu’avec un albedo de 0,32, supposé constant sur toute la surface , on aurait finalement une température de 144 K = - 128 °C, au lieu de – 21 °C !

Le fait de supposer une conduction thermique ou non à la surface de la Terre donne donc un résultat très différent, par 100 °C de différence !

En réalité aucun de ces deux modèles n’est acceptable. La Terre n’est NI isotherme, NI parfaitement isolante . Il existe des échanges d’énergie considérable entre l’équateur et les pôles, et sa capacité thermique est suffisante pour ne pas se refroidir instantanément pendant la nuit. Aucun de ces calculs n’est donc satisfaisant, mais ils ont un interêt :

·      * d’abord on peut montrer qu’ils traitent deux cas extrêmes ; c’est à dire qu’avec des transferts de chaleurs partiels, mais pas parfait, entre l’équateur et les pôles, la température devrait être quelque part entre les deux extrêmes calculés (si l’émission locale est bien celle d’un corps noir). La température isotherme est la valeur maximale qu’on peut avoir avec une émission de corps noir.

 

* ils montrent qu'il est impossible de calculer précisément le résultat final d’après des principes simples de la physique. La température moyenne de la Terre va dépendre de manière compliquée de la façon dont la chaleur excédentaire dans les régions tropicales va être transportée aux hautes latitudes, principalement par les mouvements de l’atmosphère et les circulations océaniques. Elle va également être dépendante de la courbe temporelle de l’éclairement et du stockage de chaleur, de la distribution d’albedo à la surface, etc, etc…

En résumé, il est impossible de calculer précisément la température moyenne de la Terre sans des modèles très sophistiqués. Et en réalité, comme nous le verrons, aucun modèle n’est assez précis pour la calculer de façon exacte.

 

La raison fondamentale est qu’une quantité comme une température moyenne de surface ne joue aucun rôle important dans aucune équation fondamentale : ce n’est pas comme l’énergie, la charge électrique, ou d’autres quantités importantes de la physique. Ce n’est qu’une moyenne indicative mais sa valeur n’est pas fortement contrainte. Je ferai quelques commentaires plus tard sur la différence fondamentale qu'il faut faire entre température effective et température moyenne.

Reste néanmoins un problème central : l’estimation la plus haute possible est celle de la Terre isotherme, de – 20 °C, alors qu’en réalité, la température superficielle est nettement supérieure. Or jouer avec la conductivité et la différence de température ne produira que des températures plus basses que –20°C. Il manque donc un ingrédient essentiel, qui doit nécessairement impliquer que la Terre émet un spectre sensiblement différent de celui d'un corps noir, et cet ingrédient, c’est l’effet de serre.

 

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