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6 janvier 2013 7 06 /01 /janvier /2013 07:26

Si malheureusement la plupart des lieux (virtuels) de discussions sur le climat tournent très vite au sectarisme, dans lequel l'argument le plus souvent employé est celui de "trollage" et où la censure sert d'argumentation, il existe fort heureusement un petit nombre qui ont le mérite et le courage de maintenir des lieux de débats francs et ouverts. Nous avons toujours dit que ce blog ne censurerait aucune contribution portant sur les sujets traités, qu'elle soit en accord ou en désaccord avec nous. Un autre blog ayant le mérite et le courage de maintenir un espace de discussion ouvert est celui de Meteor, http://www.climat-evolution.com, de tendance nettement plus "réchauffiste" mais sachant garder un oeil critique sur les différents discours, et acceptant des discussions contradictoires en réponse à ses posts. Une récente et passionnée a eu lieu (et se continue encore) en réponse au post sur l'échec (malheureusement prévisible ) de Doha, discussion que votre serviteur a largement contribué à alimenter. Elle m'a donné l'occasion de me reformuler clairement une contradiction essentielle dans le discours climatique, celle du coût réel de se passer des fossiles.

En effet, il existe deux versions totalement différentes de ce coût : soit se passer de fossiles demande des efforts substantiels et l'acceptation d'une vie bien plus sobre et frugale (ce qui, mesuré en terme de PIB, va certainement conduire à une décroissance nette, le "coût" pouvant alors être chiffré par la différence de PIB si l'on s'en passe, ou pas). Soit au contraire ce coût est marginal et tout à fait supportable, et ne devrait pas conduire à une variation substantielle du PIB.

Ces deux assertions sont manifestement contradictoires. Or, de façon très surprenante, elles sont tour à tour utilisées , implicitement ou explicitement, par les mêmes gens, suivant l'argument qui les arrange le plus !!

Redonnons quelques ordres de grandeur : les scénarios climatiques sont basés sur des hypothèses économiques et démographiques, qui recouvrent un grand nombre de possiblités potentielles. La quarantaine de scénarios du GIEC utilisés dans le SRES fournit des histoires très différentes, comme nous l'avons vu. Mais il y a un point commun : ils sont tous fondés sur l'hypothèse d'une croissance économique constante au cours du XXIe siècle, à des taux de l'ordre de 2,5 % par an en moyenne. Un taux de 2% par an en 100 ans donne finalement un facteur multiplicatif de (1,02)^100 = 6 . Si on suppose 3 %, on peut atteindre un facteur 14. Mettons donc que ces scénarios prévoient tous , invariablement, un facteur multiplicatif de l'ordre de 10 de la richesse mondiale.

En regard, il faut bien sûr mettre le coût des catastrophes climatiques que cette croissance est supposée engendrer. ce coût peut être réel, il ne peut pas être infini. En réalité l'hypothèse même d'une croissance continue suppose qu'aucun effondrement grave n'a pu avoir lieu, sinon ... il n'y aurait plus de croissance ! De quel ordre de grandeur est ce coût ? 

Nous avons des exemples de ces estimations dans des publications dont le lien m'a été obligeamment fourni par un de mes contradicteurs préférés, hwkf (je dis préféré parce qu'il fournit obligeamment les liens permettant de le contredire ...)

http://www.diw.de/documents/publikationen/73/diw_01.c.43084.de/diw_wr_2005-12.pdf

Ce papier annonce des coûts climatiques de l'ordre de "20 trillions of US $ " en 2100. En anglais, je rappelle que 1 billion, c'est un milliard, et 1 trillion c'est 1000 milliards (la plupart des traductions journalistiques de ces chiffres sont fantaisistes). Nous avons donc une estimation de coûts de 20 000 milliards de $ en 2100.

Par comparaison, le PIB mondial actuel est de l'ordre de 60 000 milliards de $. Le coût annoncé pour 2100 serait donc d'1/3 du PIB mondial actuel, ce qui est énorme, mais il faut se rappeler qu'il y aurait une croissance entre 5 et 10, donc le PIB mondial futur serait plutot de 300 000 à 600 000 milliards de $/an (pour ceux qui n'y croient pas, rappelons quand même que sans croissance il n'y a pas de raison non plus d'augmenter les émissions de CO2 ...). Pour le scénario souvent considéré comme "typique", A1B (AIM , voir ici le rappel des principaux scénarios), le PIB atteindrait ainsi 530 mille milliards de $/an, soit une mutiplication par environ 9, en accord avec les chiffres précédents.

Le coût serait donc plutot de 4 à 8 % du PIB, mettons 5 % en ordre de grandeur (je ferai un petit commentaire en fin d'article sur la précision avec laquelle on peut estimer ces chiffres, mais je me contente pour le moment de les accepter sans discuter). Même si cela fait beaucoup, ça ne fait que réduire de 5 % une croissance globale d'un facteur 10 ! (c'est à dire : ne multiplier plus que par 9,5 au lieu de 10, typiquement). On n'est quand même pas exactement dans "l'effondrement" fantasmé dans les scénarios apocalyptiques ! 

Néanmoins, 5 % de moins, ça fait quand un même un peu mal, et si on pouvait s'en passer, tant mieux. C'est là que rentre donc la solution miracle : il n'y a qu'à faire la même chose, mais sans fossile ! Certes, très bonne idée, à laquelle tout le monde ne peut que souscrire. Après tout, les fossiles, c'est sale, ça pollue (et pas seulement le CO2) et ça va s'épuiser, donc si on peut s'en passer, aucun problème, faisons le !!

Aucun problème ... à condition de pouvoir VRAIMENT s'en passer sans grosses conséquences. Parce que si se passer de fossiles conduisait à réduire par un facteur 2 ou 3 la richesse produite, on serait en train de dire que pour éviter 5 % de pertes climatiques, il faut accepter 50 à 70 % de richesses en moins ? euh, là, ça parait franchement idiot : on a tout interêt à garder notre facteur 10 et avec la richesse produite, on aurait surement largement de quoi surélever les Maldives de plusieurs mètres ou accueillir les habitants dans une contrée plus hospitalière, construire des digues efficaces contre les ouragans, mais rester 10 fois plus riches quand même.

L'argument qu'il faille se passer des fossiles ne peut tenir que si les coûts estimés de leur remplacement sont bien inférieurs au coût climatique, donc bien moins de 5 %. C'est précisément ce que dit l'article en lien : il estime que le coût des mesures à prendre pour réduire très significativement la part de fossiles pour maintenir le réchauffement à 2°C serait d'environ 430 milliards de $ en 2050 et 3000 milliards de $ en 2100, soit 10 fois moins que le coût climatique. Là évidemment, ça ne fait pas un pli. Si on peut éviter 30 000 milliards de dégâts avec un investissement de 3000 milliards, il n'y a pas à hésiter ! Notons quand même qu'on n'est pas vraiment en train de parler d'éviter un effondrement. Avec ces chiffres, on est en train typiquement de dire "on peut encore gratter 5 % en assurant une croissance d'un facteur 9,9  au lieu de 9,5, en faisant la croissance sans fossiles ". La différence entre multiplier par 9,5 et multiplier par 9,9 n'est pas tout de même pas  la différence entre un effondrement et une situation paradisiaque....

 

Mais minute là ... ce qu'on est en train de dire ... c'est que ... on peut pratiquement se passer de fossile avec un coût absolument ridicule de 0,5 % du PIB ? mais les histoires de peak oil, de ressources limitées, de frugalité, de jardins bio, de prendre son vélo, tout ça ... si on est 15 fois plus riche sans fossile, il n'y aurait pas à se priver du tout, on continue encore la fête mais avec d'autres énergies ! euh au fait tiens ...mais  lesquelles ... ? 

la réponse est dans l'article : la solution, le nouveau mix énergétique ! c'est un graphique tiré d'une prospective du "German Advisory Council on global change"

 

http://www.rtcc.org/2009/html/images/articles/bsw/chart.gif

Dans cette prospective , on voit que c'est le solaire qui fait tout ! miracle ! en 2100 , on produirait 1000 exajoules (environ 20 Gtep) de solaire soit plus de 2 fois la production totale d'énergie fossile actuelle, et ceci pour un coût absolument ridicule de 0,5 % du PIB. Ca veut dire qu'on sait tout faire avec du solaire, de l'électricité stable, des véhicules, voitures, avions, bateaux, se chauffer,  on ne sait même pas pourquoi on a encore besoin de fossiles en 2100 après tout, pourquoi pas 100 % de solaire ? 

Mais c'est merveilleux tout ça ! mais si c'est vrai, ça veut dire aussi que tout ce qu'on nous raconte sur l'épuisement des fossiles, les efforts à faire, le fait d'en garder pour plus tard, ça n'a plus aucun sens. Si on a l'énergie de remplacement toute prête, on s'en fiche de les gaspiller, on n'en aura plus besoin de toutes façons. Sur le graphique ci dessus, la consommation totale de fossiles doit à peine excéder celle des réserves prouvées, même si la répartition entre fossiles ne correspond pas du tout à leur montant respectif (trop de pétrole et surtout de gaz par rapport aux réserves, et moins de charbon). Mais bon c'est un détail on peut les répartir différemment. Et comme on sera bien plus riche on n'aura pas non plus de peine à gratter un peu de non-conventionnel Rappelons que les scénarios "avec fossiles" en consomment bien plus, donc il en restera plein de réserves si on en a encore un peu besoin, largement plus en tout cas que les besoins - il n'y a donc aucun problème de pénurie en vue, aucune limite à la croissance due aux réserves finies de fossiles. On arrêtera juste de les consommer parce qu'on a trouvé mieux, c'est tout. 

Cette vision idyllique, si elle est vraie, invalide donc totalement l'idée que le monde industriel serait menacé par la pénurie d'énergie. Si on peut vraiment développer autant les renouvelables, alors il n'y a pas de problèmes de ressources énergétiques, ni d'arrêt de la croissance prévisible. Rappelons que globalement ça ressemble aux scénarios avec fossiles, à part qu'on remplace les fossiles par le solaire, et qu'on "gagne" donc quelques % du PIB de catastrophes climatiques en moins. Voilà l'essentiel du discours climatique actuel : nous vous assurons de toutes façons une croissance d'un facteur d'environ 10 dans ce siècle, et il vaut mieux le faire sans fossile pour éviter quelques % de coût climatique, mais ne vous inquiétez pas, le remplacement peut se faire sans problème (en gros comme un installateur de chaudière vous promet de vous installer une chaudière moderne plus efficace en remplacement de votre vieux chauffage, avec une baisse de votre coût global et une rentabilisation de votre investissement, et moins de pollution).

 

Si tout cela est vrai, franchement, c'est le rêve. Qui peut refuser une solution aussi simple et satisfaisante ? en fait on ne comprend même pas pourquoi on se bat sur le climat, qui peut etre contre poursuivre la croissance de façon propre et à un coût minime, à moins d'être complètement masochiste ou détester l'humanité ? toute la querelle autour du remplacement des fossiles devient absurde, si il est vrai qu'on peut les remplacer à ce coût ridicule. Personne n'a aucun interêt à ne pas le faire, surtout qu'on peut attendre 2030 comme le montre ce graphique, on a encore du temps.

Bon, redevenons sérieux. Franchement, qu'est ce qui assure la crédibilité d'un tel scénario ? On sait très bien que le solaire a des applications extrêmement limitées et a un coût élevé, et ne peut servir que d'appoint totalement marginal. Il n'apparait même pas dans l'épaisseur du trait des statistiques énergétiques actuelles.  Si les technologies pour remplacer massivement les fossiles par le solaire existent dès maintenant, alors pourquoi ne pas le faire tout de suite ? pourquoi les chinois ne se développent-ils pas au solaire plutot qu'au charbon? pourquoi les islandais qui débordent d'énergie renouvelable (et n'ont d'ailleurs nullement besoin de solaire, leur combinaison hydraulique/geothermie est bien plus stable et maniable), consomment encore autant de fossiles ?  

D'un autre côté,  si ces technologies n'existent pas encore, comment tabler sur le fait qu'elles existeront en 2030 ou en 2100 ? qui l'assure, sous quelle base? et surtout comment peut-on chiffrer avec une telle précision un coût qui serait devenu aussi faible ? sur quelle base peut-on estimer à 430 milliards de $ en 2030 une technologie inconnue ? nous sommes ici en pleine science fiction. Les scénarios présentés ici sont juste des "toy models" (modèles jouets) programmés sur ordinateur avec des paramètres pifométriques (on va dire qu'on va savoir utiliser le solaire/l'hydrogène/la fusion thermonucléaire - ah non tiens pas de fusion thermonucléaire en 2100, pourquoi? mystère ..) et que ça va coûter tant et puis on va calculer notre monde virtuel avec ...

J'avais promis un petit commentaire sur la précision de tous ces chiffres; relisez depuis le début l'article et demandez vous, à chaque fois que vous lisez un chiffre concernant l'année 2100 : mais au fait, quelle précision a-t-on sur ces valeurs? avec quelle précision peut-on estimer le PIB, le coût climatique, le coût du remplacement des fossiles ?

un peu de jugeotte devrait vous convaincre qu'il y a des incertitudes énormes sur toutes ces valeurs.

Evidemment que personne n'est capable d'affirmer que la croissance durera jusqu'en 2100, et ne connait le taux de croissance moyen.

Evidemment que personne n'est capable de prévoir le climat en 2100 (ne serait ce que par l'incertitude sur le montant des réserves et la sensibilité climatique), et encore moins leur coût puisqu'on a aucune idée des techniques disponibles, de l'adaptation de l'humanité aux changements sociaux et climatiques, et même de sa richesse globale, puisque les coûts des catastrophes dépend aussi beaucoup de la richesse de la population !!

 Evidemment que personne n'est capable de chiffrer le coût d'un remplacement d'un système énergétique par un autre, avec des technologies futures qu'on ignore !!!

Un monde 10 fois plus riche, basé sur des technologies totalement différentes,  ne pourrait aucunement être comparable au nôtre, et un chiffrage à 100 ans d'intervalle n'a aucun sens, surtout avec 2 ou 3 chiffres significatifs comme dans l'article cité !!

La réalité, c'est bonnement que personne ne sait faire ce remplacement à coût quasi nul actuellement,  et que tout scénario le prévoyant est juste de la science fiction. Mais l'autre réalité, c'est que SI il s'avère que le coût de se passer de fossiles n'est nullement négligeable (comme c'est le cas actuellement), et que la société industrielle en est vraiment dépendante, ce qui est beaucoup plus cohérent avec les discours demandant des efforts substantiels sur le niveau de vie pour vivre de façon plus "écologique", ALORS le coût de se passer de fossile serait probablement BIEN SUPERIEUR au coût de quelques % des conséquences climatiques. Autrement dit, si vous croyez aux scénarios dorés décrits ci-dessus, alors vous n'avez pas à vous inquiéter de l'épuisement des ressources énergétiques (et finalement climat ou pas nous sommes assurés d'être bien plus riches en 2100 que maintenant). Et si vous n'y croyez pas, alors l'épuisement des ressources énergétiques causera des dégâts à la société bien supérieurs à ceux du climat, qui rappelons le, ne feraient que quelques % de moins sur une croissance globale d'environ 10.

Dans AUCUN des cas décrits, la lutte contre le climat ne permettrait d'éviter une catastrophe pour garantir une société heureuse : dans le premier cas, il n'y a jamais de catastrophe parce que l'accroissement de richesse l'emporterait toujours largement sur le coût climatique - et de plus il est facile de l'éviter, le gain de se passer de fossiles ne fait qu'accroitre un peu plus la richesse. Dans le deuxième cas, il n'y a pas de possibilité d'éviter une décroissance douloureuse parce qu'on ne sait pas remplacer les fossiles. Faites votre choix entre ces deux prédictions, qui sont contradictoires, parce qu'il n'y a pas de troisieme cas cohérent logiquement. Le mien est fait. 

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23 juillet 2012 1 23 /07 /juillet /2012 12:34

Après l'effondrement économique de la Grèce, comme il était hélas prévisible, c'est maintenant l'Espagne qui est le centre de toutes les inquiétudes. Les mauvaises nouvelles se sont succédées récemment : appel de Madrid à une aide européenne pour renflouer ses banques, de l'ordre de 100 milliards d'euros (oups ..). Dégradation des principales banques espagnoles par les agences de notation. Explosion des taux d'interêt. La spirale de la crise grecque semble se profiler à nouveau, mais cette fois, pour un pays qui représente 12% de l'économie européenne, et non 2%. La récession espagnole se confirme avec une baisse de -0.4 % au second semestre. En ce moment même, les bourses européennes rechutent à la perspective d'un plan de sauvetage à grande échelle, et les commentateurs ne cachent pas leur inquiétude. Les derniers pays européens "sûrs" comme l'Allemagne, le Luxembourg et les Pays Bas voient à leur tour leur dette placée en surveillance négative. 

Nous l'avons dit et répété ici : le plus grand danger qui menace le monde actuel, ce n'est pas le danger climatique,  c'est l'effondrement du système économique sur lequel notre société est basée, et qui reposait sur l'accroissement continuel de richesses, accroissement qui ne peut qu'avoir un terme par épuisement des ressources naturelles; ce discours n'est pas bien sûr très original, mais ce qui l'est probablement un peu plus, c'est de défendre l'idée que les crises actuelles en sont le premier signe, et qu'elles ne sont pas, comme on le dit très souvent, uniquement dues à des problèmes financiers et des politiques bancaires imprévoyantes. Les politiques financières imprévoyantes (telles que les ont connues justement la Grèce et l'Espagne) aggravent le problème et précipitent ces pays dans des crises violentes, mais le fond du problème aurait existé avec une politique "sage" - une politique sage pouvant au mieux accompagner et mitiger la décroissance, mais ne pourra pas l'éviter.

Malheureusement, il semble bien que le côté inéluctable de la décroissance sur le long terme ne passe pas vraiment dans les discours. Même les politiques de sauvetage reposent sur l'hypothèse d'une croissance qui repartira et permettra de "rembourser les dettes". Personne n'envisage, ou n'ose dire qu'il envisage, que ces dettes ne soient simplement jamais remboursées, ou seulement par l'inflation , ce qui est une manière de ne pas les payer mais de répartir le manque à gagner sur toute la population. La spirale vertueuse de la croissance, possible quand les ressources naturelles pouvaient croître sans restriction, se transforme en une spirale infernale de la récession - moins d'argent, moins de consommation, moins d'activité, moins d'argent .. tout ce qui semblait marcher jusqu'à présent ne semble mystérieusement plus fonctionner, enfin,mystérieusement pour ceux qui ne veulent pas admettre que l'économie repose d'abord et avant tout sur la consommation de ressources physiques.

A côté de cela, nous entendons des discours rassurants sur les ressources pétrolières. Dans une étude récente (version pdf ici ), Leonardo Maugeri prétend que les capacités de production pétrolière vont connaitre une forte croissance de presque 20 millions de barils par jours (Mbd) d'ici 2020, grâce à la mise en production de nouveaux gisements liés au "shale oil" , le pétrole associé aux schistes (à ne pas confondre avec les schistes bitumineux qui demandent un traitement chimique élaboré et coûteux pour produire un pétrole synthétique : ici , il s'agit de vrai pétrole mais "captif" dans des roches, qu'on peut néanmoins extraire par des techniques de fracturation analogues à celles du gaz de schiste).

 

http://2.bp.blogspot.com/-cbzP-_oHTp4/T-pZuj1qcHI/AAAAAAAAKGE/OhrpXTlxOJY/s1600/country_by_country_production_to_2020_Maugeri.png

L'étude a été faite à l'Université d'Harvard, mais Leonardo Maugeri n'est pas vraiment un universitaire. C'est en fait une personnalité de l'industrie pétrolière, ancien dirigeant de la compagnie italienne ENI. Il a toujours nié la proximité du peak oil, et n'a bien sûr jamais prédit l'explosion du prix qui a accompagné le plafonnement de la production à partir de 2005. Il est exact que ce prix élevé a favorisé la recherche de nouveaux gisements, dont le pétrole de schistes des Bakken aux USA, qui a permis à ce pays d'augmenter assez sensiblement sa production. C'est l'argument classique des "terraplatistes" du pétrole , qui semble démontrer qu'il ne peut jamais y avoir de pénurie puisque toute pénurie provoque un accroissement du prix qui rend ensuite accessible de nouvelles réserves.

L'argument paraît à première vue imparable, mais il semble avoir la conséquence curieuse de prédire que la production croîtrait indéfiniment, ce qui paraît peu plausible. Où pèche-t-il donc ?

Déjà, des critiques s'élèvent sur son étude, en particulier sur le fait qu'il aurait systématiquement sous-estimé les taux de déclin des champs actuels et les possibilités des ressources non-conventionnelles.  Mais surtout, il oublie simplement que la production est un équilibre entre offre et demande; si les ressources difficiles deviennent accessibles à des prix élevés, ces mêmes prix élevés limitent la demande, précisément en diminuant le pouvoir de consommation et donc la disponibilité monétaire. Pendant que M. Maugeri s'extasie sur les prouesses techniques permettant de racler les dernières gouttes de pétrole que notre planète recèle, l'économie s'effondre souterrainement par pans entiers, et le monde sera bien trop pauvre pour exploiter ces ressources aux prix où elles coûtent, à un niveau en tout cas comparable à la consommation actuelle. Combien de temps mettrons nous à le réaliser ? 

 

 

 

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24 octobre 2011 1 24 /10 /octobre /2011 10:21

Il n'y a pas de faute d'orthographe dans le titre, que j'aurais du plutôt écrire ΗΕΛΛΑΣ : c'est bien de la Grèce que je veux parler. Un des premiers posts de ce blog traitait déjà de la crise qui secouait ce pays. Il est intéressant de regarder quelle a été l'évolution depuis.

Hélas, cette fois, bien hélas : elle n'a été que conforme aux craintes qu'on pouvait en avoir. Comme je l'exposais déjà à l'époque, la crise de l'endettement est un pari sur l'avenir qui a échoué, parce qu'on a anticipé des dépenses qu'on avait en réalité pas le droit de faire, simplement parce que les prévisions de croissance des revenus n'étaient pas au rendez vous. On peut chercher des coupables, mettre ça sur le dos des banques, du capitalisme, du système financier international, la réalité est là : quel que soit le coupable, les Grecs ont dépensé plus que ce qu'ils avaient droit, ils se sont endettés en pensant pouvoir rembourser, et ça n'a pas été le cas. Ses taux de croissance insolents des dernières années n'était que de la poudre aux yeux, ils sont en train d'être compensés par une récession tout aussi vertigineuse. Alors on aurait peut être pas dû leur prêter autant. On ne les aide pas en faisant flamber leur taux d'interêt à cause de la dégradation de leur note par les agences de notation. Certes, mais en quoi cela les aiderait-il plus de les laisser creuser encore plus leur déficit, en leur consentant des taux d'interêt aussi bas que ceux auxquels ils étaient habitués? et qui pourrait promettre à des prêteurs actuels que prêter à la Grèce est sans risque pour leur argent ?  la purge est amère, mais personne n'a d'autres solutions. Le mal est fait, et il faut payer. 

 

Alors qui va payer ? eh bien, manifestement et comme on pouvait un peu s'y attendre, un peu tout le monde. Les banques qui s'apprêtent à renoncer à 50 à 60 % de leur crédits. Les Grecs victimes de plan d'austerité drastique, auquel ils n'arrivent pas à se résigner. Les contribuables européens qui devront consacrer une part de l'argent de leur état à renflouer la Grèce. On peut estimer que c'est en réalité un racket et que nous payons pour eux, mais nous n'avons pas le choix, une vraie faillite serait encore pire. 

La Grèce est un petit pays de l'UE. Son PIB annuel ne représente que 1,5 % de celui total de l'Union Européenne. Et même si la dette représente 142 % de ce PIB, son poids sera peut être supportable sans conséquence dramatique pour l'économie des pays de l'Union. Mais le problème n'est pas là. Il est : sommes nous, oui ou non, capables de voir que la Grèce n'est que le canari dans la mine, celui qui donne l'alerte en perdant conscience quand le taux de gaz délétères devient dangereux pour les humains ? comprenons nous réellement l'origine de cette crise et à quel point elle pourrait être archétypique des crises du futur ? 

Derrière la Grèce, viennent l'Espagne, l'Italie, et pas très loin la France. Tous ces pays ont des endettements dangereusement croissants, leur note est dégradée ou en passe de l'être. Plus personne ne croit à la note "AAA" de la dette française. Or que nous promet-on pour faire face à cette menace? toujours les mêmes recettes, à droite comme à gauche, dans la campagne électorale qui s'annonce : relancer l'économie, relancer la croissance. Bon mais qu'est ce qui va arriver si l'économie ne redémarre pas? qu'est ce qui peut arriver d'AUTRE que ce qui s'est passé en Grèce ? et cette fois, avec ces poids lourds de l'Union européenne, un défaut de paiement (puisque c'est bien de cela qu'il s'agit) serait ingérable. Or, personne ne traite vraiment de la menace réelle sur la croissance, que nous avons maintes fois rappelée : la production pétrolière ne croit plus ou presque, l'AIE tire encore une fois la sonnette d'alarme . Oubliez l'injustice des marchés financiers, oubliez la bourse, oubliez la démondialisation, ces problèmes existent et sont réels, mais ce ne sont pas eux qui menacent réellement la croissance mondiale. C'est simplement que la machine thermoindustrielle est arrivée au bout de sa phase de croissance de consommation de carburants, que le moteur hoquète, que les tuyaux commencent à donner de moins en moins. Ca ne se manifestera pas par des pompes à sec ou un manque de plastique. Ca se manifestera, bien plus prosaiquement, par un manque de croissance et donc finalement un manque d'argent. Non, les investissements ne redémarreront pas avec une économie en panne. Ce qui va arriver, c'est simplement un assèchement des capacités financières qui se répercutera en cascade sur tous les domaines de la société. Il n'y a pas de recette miracle collective : il y aura simplement des individus qui s'en tireront plus ou moins bien suivant leur flair et leur capacité de comprendre la situation. A titre individuel, les recettes ne sont pas très compliquées : éviter les investissements hasardeux, les emprunts non indispensables, ne pas se fier aux placements miracles, essayer au maximum de maîtriser ses dépenses futures (pas d'emprunt indexés sur des indicateurs pouvant flamber comme le franc suisse !), bien sûr tenter de réduire ses dépenses obligatoires comme les dépenses énergétiques. Le monde ne s'écroulera pas non plus en quelques mois, mais chacun doit adopter le comportement d'un capitaine de navire qui sait qu'il va croiser un ouragan, tout arrimer soigneusement, réduire la voilure, et s'en remettre à la Providence pour que tout se passe sans trop de mal ...

 


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11 septembre 2011 7 11 /09 /septembre /2011 05:50

En cette date anniversaire d'un évènement terroriste ayant précipité la chute des symboles les plus spectaculaires de l'orgueil américain, nous allons parler d'une autre chute possible.  Les inquiétudes croissantes sur le problème des dettes souveraines et les perspectives de récession ont en effet refait plonger une nouvelle fois les bourses. Il parait de plus en plus évident que les indices boursiers sont devenus comme une machine folle variant au gré des mouvements de panique, amplifiés par l'informatisation croissante qui accélère encore plus le caractère foncièrement instable de la bourse (puisque plus les cours montent, plus on a tendance à acheter, et vice-versa, jusqu'on atteigne des seuils où les tendances se renversent brutalement). Il n'est cependant pas inintéressant de regarder l'évolution d'un indice comme le CAC 40 depuis sa création en 1987 :

 

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d2/CAC_40_1979-2011.jpg

(source : wikipedia)

On voit très clairement qu'après une période de croissance "raisonnable" dans les dernières décennies du XXe siecle, se sont constituées deux bulles impressionnantes, suivies d'une chute tout aussi impressionnante : une autour des années 2000 autour du développement d'internet, et l'autre de 2005 à 2007, accompagnant la flambée des cours des matières premières et de l'immobilier. Comme des tours jumelles, dont l'écroulement a été à peu près contemporain de celui de la bulle internet, ce graphique nous offre une image saisissante de ce qui pourrait être la décadence du système financier occidental. 

 

Ces mouvements ont été causés par une augmentation considérable de liquidités rendu possible par le mécanisme de création par l'emprunt. Rappelons en effet que ce sont essentiellement les banques, et non les états, qui créent l'essentiel de la monnaie circulant dans le monde, par la simple acceptation de prêter. Les prêts ne sont pas prélevés sur le compte de quelqu'un d'autre (aucune banque n'a jamais prelevé de l'argent sur votre compte en banque sous prétexte qu'elle en avait besoin pour accorder un crédit à votre voisin, n'est ce pas?), mais créés ex-nihilo, et redétruits par le remboursement. Ce système n'est pas aussi absurde qu'il en a l'air au premier abord, il permet un controle relativement bon de l'inflation, les menaces de divergence de la monnaie en circulation étant régulées par les taux d'interêt, qui agissent comme un bouton de contrôle sur la monnaie en circulation. Cette adaptation souple a probablement été un atout pour la croissance économique du siècle précédent. Mais on en voit les conséquences sur le système financier : il a été à la source de création de liquidités hallucinantes , tout aussi facilement redétruites. Normalement, ça devrait être considéré comme de l'inflation, mais comme l'argent créé lors des spéculations financières est resté dans la sphère financière, grâce à la financiarisation croissante de l'économie, et il n'a pas réellement impacté l'inflation "réelle" qui ne prend bien sûr pas les bourses en compte. Le système financier est devenu un monde à part jouant à créer et à détruire de la monnaie virtuelle....

Il est néanmoins intéressant de constater que l'extrapolation des années pré-1990 ne donne pas un résultat ridicule quand on le compare à maintenant. On a un peu l'impression que le système a été "nettoyé" de ses spéculations sans fondement, et que la crise boursière est un peu un retour à la normale...

 

Sauf que l'instabilité qui a existé pour les bulles existe aussi pour les krachs. Lorsque l'Islande (un pays qui m'est cher) a connu le pire krach de son histoire en 2008, son indice boursier est tombé de ....76 % , tombant en un seul jour, le 14 octobre 2008, de 3000 points à l'ouverture à 670, avant de descendre même en-dessous de 500 plus tard. Au plus haut du boom financier qui avait précédé, il était monté à 9000 points.

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/cf/OMXI15.jpg/800px-OMXI15.jpg

Source WIkipedia

Pourquoi une telle chute ? parce que la valeur boursière  des trois principales banques islandaises, mouillées jusqu'au cou dans les subprimes, était tombée à simplement zéro. Zéro, parce que personne, absolument personne , ne voulait en acheter, à aucun prix. Elles ne valaient plus rien.

Une telle éventualité est parfois discutée comme un cas d'école : le système boursier peut-il s'effondrer jusqu'à ce qu'un indice comme le Dow Jones ou le CAC 40 tombe à strictement zéro ? en théorie, oui : il suffit que plus personne (!) ne veuille acheter la moindre action à aucun prix, qu'on n'ait plus aucune confiance dans aucune d'entre elles. 

Je ne crois pas vraiment à cette hypothèse, mais néanmoins il faut réaliser qu'il n'y a pas de borne inférieure à la chute d'une bourse. La crise que nous connaissons actuellement n'est que le tout début des crises modèles qui se profilent. Les seuls pays à être en état de faillite ou quasi-tels, comme la Grèce, sont encore des petits pays dont le poids économique dans le monde est négligeable. La production pétrolière n'a pas encore vraiment commencé à décroitre. Les dettes des grands pays gardent des notes très bonnes à bonnes, même si la dégradation de celle des Etats Unis sonne comme un coup de semonce; bref, nous n'avons connu que des prémisses, des précurseurs, du seisme qui pourrait emporter le système financier à l'avenir. Mais que peut-il se passer lorsque les investisseurs perdront toute confiance dans le fait que les grands états peuvent rembourser leur dette, et que leurs investissement auront la moindre rentabilité dans le futur, si le monde ne croit plus en ses perspectives de croissance ? il faut s'attendre à tout ...

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2 août 2011 2 02 /08 /août /2011 21:00

Dans le post précédent, nous avons revu quelques propriétés mathématiques de l'exponentielle. Certains commentaires m'ont fait sentir d'ailleurs que le ton était un peu trop "leçon de maths" , et qu'il avait découragé certains de le lire :). Je vais donc résumer brièvement ces propriétés, dont la plus importante, la seule à vrai dire qu'il faut retenir, est la suivante :

Une exponentielle est une fonction (en fait l'unique fonction,  à un facteur d'échelle près),  qui a la propriété fondamentale suivante : elle est multipliée par un facteur constant, à chaque fois qu'on avance d'un intervalle de temps constant.

Autrement dit il y a une relation unique et déterminée entre un intervalle de temps Tc donné, et un facteur multiplicatif C correspondant de la variable. Il y a un intervalle caractéristique correspondant à une multiplication d'un facteur 2, (le temps de doublement T2),  un autre par une multiplication par 3, ou par 10, ou par 1000.... Chaque fois qu'on passe un temps T2 par exemple, l'exponentielle double, en passant de 1 à 2, puis de 2 à 4, puis de 4 à 8 ....

L'intervalle de temps Tc correspondant à une multiplication par C est donné par

Tc = ln(C)/k 

ou inversement

C = exp(k.Tc)

      où k est le coefficient caractéristique, le "taux de croissance" de l'exponentielle (ln est la fonction logarithme népérien, qui est la fonction réciproque de l'exponentielle : si y = exp(x), alors x = ln(y) ). 

le seul paramètre libre est la constante k, qui est le taux de croissance de l'exponentielle. Numériquement lorsque t est mesurée en année, k est (pratiquement) le taux de croissance en % ( à r% /an, k = r/100).

ces formules peuvent s'appliquer pour n'importe quel C, avec le Tc correspondant, mais pour fixer les idées on prend souvent C = 2, ce qui permet de définir le temps de doublement T2 = ln(2)/k = 70/r ans environ.

Au bout de 10 temps de doublements, la quantité sera multipliée par 2^10 = 1000 environ (ça revient à prendre C = 1000, et T1000 = 10*T2)

Appliquons maintenant ces principes à une croissance économique, avec des taux "raisonnables" considérés par les économistes :

* si r = 2 % par an, le temps de doublement est de 70/2 = 35 ans. La quantité sera multipliée par 1000 en 350 ans.

* si r = 5 % par an, le temps de doublement est de  70/5 = 14 ans. La quantité sera mutlipliée par 1000 en 140 ans.

* si r = 10 % par an, le temps de doublement est de  70/10 = 7 ans. La quantité sera multipliée par 1000 en 70 ans.

A cause du caractère multiplicatif à chaque étape, l'exponentielle devient rapidement vertigineuse dès qu'on dépasse quelques temps de doublement. Prenons l'exemple de +2 % /an, un taux a priori anodin et meme jugé faiblard par les économistes . Comme nous avons dit, cela correspond à une multiplication par 1000 en 350 ans, et donc par 1000^3 = 1 milliard en 1000 ans environ, par un milliards de milliards au bout de 2000 ans (attention pas par deux milliards, mais bien par un milliards de milliards), etc....

http://www.futura-sciences.com/uploads/RTEmagicP_01_txdam17399_38bc8f.jpg

Image de l'échiquier et des grains de blé - Crédit Futurasciences

 

Cette progression a été illustrée dans une parabole connue, celle de l'échiquier. Probablement imaginaire, cette histoire raconte que l'inventeur du jeu d'échec (supposé avoir été inventé dans un pays musulman, mais il l'a plutot probablement été en Inde) aurait demandé au calife qui voulait le récompenser de lui donner "juste" un grain de blé sur la première case, deux sur la deuxieme, quatre sur la troisieme, etc... en doublant à chaque fois le nombre. On reconnait le calcul exponentiel, le saut d'une case etant l'analogue du passage d'un temps de doublement. Ravi de la modestie de la demande, le calife ordonna qu'on la satisfasse immédiatement .. à la désolation de l'intendant qui s'aperçut qu'il fallait 1+2+4 ... =2^64-1 = 18 446 744 073 709 551 615 (voir le calcul ici par exemple) grains de blé, représentant des centaines de milliards de tonnes, plus de mille ans de production de l'époque ! et quelques cases de plus aurait encore multiplié ce nombre par 10, 100 ....

Appliquons le meme calcul à l'énergie. La puissance actuelle consommée par l'humanité est d'environ 10 Gtep par an, ce qui converti en watts (les lecteurs me feront confiance) correspond à environ 13 000 GW (milliards de W) ou 1,3 10^13 W. C'est beaucoup, mais la puissance du Soleil est d'environ 3,8 10^26 W soit environ 30 000 milliards de fois plus. On est donc très loin de consommer la puissance du Soleil... mais au rythme de 2% par an, nos besoins atteindraient la puissance entière du Soleil en 1300 ans environ. 1300 ans de plus, et nous aurions besoin de 30 milliards de Soleil , pratiquement toutes les étoiles de la galaxie. Encore 1300 ans de plus , nos besoins reviendraient à capter l'énergie de dizaines de milliards de galaxies, pratiquement tout l'Univers visible. En meme pas 5000 ans de croissance à 2% par an, nous aurions donc besoin de toute l'énergie disponible dans l'Univers.

Or 5000 ans, c'est beaucoup, mais ce n'est pas ENORME dans l'histoire de l'humanité. C'est à peu près la date de l'Histoire, depuis l'invention de l'écriture à Sumer puis un peu après en Egypte. L'espèce humaine est bien plus vieille, plusieurs centaines de milliers d'années pour l'homo sapiens, plusieurs millions d'années pour le genre homo. 5000 ans, c'est une durée ridiculement courte par rapport à l'évolution des espèces.

 

J'emprunte sans vergogne un graphique à un blog anglo saxon que je viens de découvrir, très voisin du mien puisqu'il est tenu par un astrophysicien et développe des considérations mathématiques et scientifiques sur les problèmes de l'énergie et de l'environnement :). Il fait à peu près le même calcul avec un taux un peu différent (2,3 % /an au lieu de 2%), mais aboutit bien sûr aux même conclusions qualitatives : nous épuiserions la puissance totale du Soleil en un peu plus de 1000 ans, celle de la galaxie en un peu plus de 2000 ans. Ce graphique est tracé avec une échelle logarithmique pour les ordonnées, chaque unité représente un facteur 10 de plus. Avec une échelle logarithmique, l'exponentielle apparait linéaire - mais cela traduit toujours la même chose, un facteur multiplicatif constant à chaque fois qu'on progresse d'un pas de temps constant. Sont représentés : la puissance correspondante à 20 % de la puissance solaire incidente sur les terres émergées, celle correspondant à 100 % de cette puissance, puis 100 % de la puissance totale arrivant sur la planète, la puissance totale du Soleil, et la puissance de la Galaxie. Par comparaison, les périodes de temps historiques dans le passé correspondant à l'intervalle de temps qu'il faudrait parcourir pour atteindre ces limites. 

http://physics.ucsd.edu/do-the-math/wp-content/uploads/2011/07/galaxy.png

 


Bref la conclusion est claire, une croissance énergétique à 2% par an produit des chiffres totalement absurdes après quelques siècles, et conduirait en quelques millénaires à épuiser l'ensemble des sources d'énergie de l'Univers visible. 

Pourquoi ne nous en sommes pas encore aperçu ? la réponse est simple : parce que la civilisation industrielle n'a qu'un peu plus de 200 ans, et 200 ans, ce ne sont QUE SIX temps de doublement à 2% par an, soit "juste" un facteur 100 environ (64 pour etre précis, mais on est dans l'ordre de grandeur). C'est effectivement ce qui s'est passé : grosso modo, par rapport à l'époque préindustrielle, on a une population 10 fois plus nombreuse et une consommation par habitant aussi 10 fois plus grande.

Un facteur 100, c'est beaucoup, mais c'est encore supportable ... la preuve !  100 , ce n'est pas "démentiel". Le seul problème est qu'une nouvelle période comme celle-là ferait au total un facteur 100*100 = 10 000 (soit 100 fois la consommation actuelle), et encore une de plus conduirait à  10 000 fois la consommation actuelle. Bien avant d'arriver aux milliards , on se rend compte que c'est déjà inimaginable. La civilisation industrielle a DEJA épuisé pratiquement totalement son potentiel de croissance, et nous sommes DEJA a la limite de ce qui est supportable. Un simple facteur 2, c'est à dire rappelons le 35 ans de croissance à 2%, est déjà quelque chose qui parait assez ardu à réaliser.

Il faut bien comprendre que ce phénomène n'est pas spécifiquement du à la civilisation industrielle, mais aux propriétés de l'exponentielle. D'une façon générale, et quel que soit le phénomène, une exponentielle ne peut durer raisonnablement que quelques temps de doublement. Une dizaine de temps de doublements conduit déjà à un facteur 1000. Plusieurs dizaines conduisent à des nombres physiquement totalement déraisonnables.

Si on résume ce qui vient d'etre calculé, c'est qu'une exponentielle impose son échelle de temps caractéristique, qui est en ordre de grandeur l'inverse de son taux de croissance 1/k, et qu'elle impose des limites qui sont de quelques fois 1/k. 

Il y a une remarque à faire, que j'ai très rarement, si ce n'est jamais vue clairement exposée. On n'a jamais dit clairement pourquoi c'etait un taux de quelques % par an qui était "bon" pour l'économie. Pourquoi pas 10 fois plus ou 10 fois moins ? la réponse me parait assez naturelle : un taux de quelques % par an correspond à un temps de doublement de quelques décennies, c'est à dire à peu près une vie humaine. Ca a une conséquence très importante : c'est qu'une croissance éconmomique de quelques % par an a pour conséquence l'amélioration sensible de la condition de vie des gens PENDANT LEUR VIE. Ce n'etait pas du tout le cas avant. La croissance préindustrielle était bien plus lente et surtout bien plus fluctuante, avec des périodes de régressions à peu près comparables à celles de croissance, et en moyenne, les gens mouraient dans le meme monde que celui où ils étaient nés. La période extraordinaire que nous avons connue est extraordinaire justement parce que , pour la première fois dans l'histoire de l'humanité, les humains ont vu leur condition changer spectaculairement pendant leur vie - ce qui n'etait possible qu'avec ces taux de croissance de quelques % par an. Notons que des croissances bien plus rapides (et la croissance de 10 % /an comme en Chine, c'est déjà beaucoup) conduirait à des changements tellement rapides qu'ils pourraient ne plus etre gérables dans une vie humaine. L'optimum est donc bien un temps de doublement "à peu près " comparable à la vie humaine.

Mais ... il y a un hic... un GROS hic. Un ENORME hic. C'est que si on désire avoir un temps de doublement comparable à la vie humaine, d'après les considérations précédentes, cela signifie que cette période ne peut durer que quelques générations, ou bien on retombe dans l'absurdité des nombres immenses. Autrement dit, la croissance industrielle de quelques % par an porte en elle-meme sa finitude temporelle. C'est PARCE QUE nous avons voulu que notre vie s'améliore de manière visible, dans l'espace d'une vie que cette amélioration est par essence finie, et ne pourra jamais concerner que quelques générations. L'espoir d'une croissance sur des millénaires est totalement impossible à réaliser.

Dans la suite, je répondrai d'avance aux objections que je connais déjà, à savoir : oui mais tout ça ne concerne que des limites MATERIELLES, mais qu'est ce qui empeche de faire une croissance IMMATERIELLE qui n'est pas soumise aux limites physiques ? je montrerai qu'une croissance immatérielle infinie est tout aussi impossible qu'une croissance matérielle. Et ensuite, nous essayerons de répondre à la question : mais si la croissance ne peut pas durer, alors que va-t-il se passer ensuite ? 

 

  

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31 juillet 2011 7 31 /07 /juillet /2011 07:31

Une des caractéristiques les plus frappantes du développement de la société moderne est l'apparition d'une croissance économique et démographique inédite dans l'histoire de l'humanité. Cette croissance s'est tellement inscrite dans nos habitudes qu'elle est maintenant considérée comme la situation "normale" de l'économie, qui vise à atteindre une croissance suffisante pour assurer le plein emploi et la bonne santé générale de la société. Une croissance excessive peut être considérée comme une "surchauffe", un manque de croissance comme un défaut, une récession comme une crise. Il semble donc qu'il y ait plus ou moins un taux de croissance "idéal". Un physicien ne peut qu'être intrigué par cette notion : pourquoi après tout y aurait-il un "bon" taux de croissance plutot qu'un autre ? et ce taux est-il vraiment durable? peut-on faire de la croissance indéfinie dans un monde limité ? des réponses contradictoires ont été apportées à ces questions. Pour des analyses comme dans le rapport Meadows, lié à ce qu'on appelé le "club de Rome", publié en 1972, dont il a été fait allusion ici, la croissance est vouée tôt ou tard à rencontrer des limites physiques. Dans le meilleur des cas, elle tendra vers zéro , correspondant à une stabilisaion de la société, ou dans le pire des cas , elle mènera à son effondrement. Pour d'autres, s'appuyant sur le fait que les prédictions du club de Rome ne sont pas réalisées, il est au contraire possible d'imaginer une croissance durable outrepassant les limites physiques. Je vais expliquer ici pourquoi ma position personnelle est clairement la première, et que le club de Rome a développé des idées inattaquables mathématiquement.

Il faut d'abord rappeler quelques propriétés mathématiques fondamentales de l'exponentielle; ces propriétés sont bien connues de certains lecteurs, mais peut-être pas de tous, et même ceux familiers avec cette fonction n'ont peut être pas toujours réalisé certaines de ses conséquences pratiques. Pour ne pas être trop long je ne ferai que ces rappels mathématiques dans un premier post, avant de développer les conséquences "humaines" de ces propriétés mathématiques.

 

La croissance exponentielle apparaît naturellement dans un certain nombre de situations dont la caractéristique commune, qui se rencontre assez couramment, est la suivante : une quantité X varie exponentiellement avec le temps quand elle est "auto-reproductice à taux constant", dans le sens où sa vitesse de variation est proportionnelle à la quantité X elle même.

 

C'est une situation qui se rencontre souvent, mais qui n'est pas générale. Par exemple si vous remplissez une baignoire avec un robinet ouvert, la vitesse de remplissage est constante, mais elle ne dépend pas de la quantité d'eau dans la baignoire. Ce n'est donc pas une croissance exponentielle, mais linéaire. En revanche, si vous élevez des lapins, et que vous les laissiez se reproduire à un taux constant, le nombre de naissance sera proportionnel au nombre de lapins et ils croitront exponentiellement. De façon générale, les espèces vivantes ont une tendance naturelle à la croissance exponentielle. De même si vous alimentez un compte sans interêt avec une partie constante de votre salaire, tant que ce dernier n'augmente pas, la somme déposée sur le compte croît, mais linéairement. En revanche si il y a des interêts que vous reversez sur le compte, la croissance est exponentielle, car les interêts croissent proportionnellement à la somme versée.

 

Une petite remarque, c'est qu'une croissance exponentielle ne signifie pas forcément AU DEBUT très rapide , comme on le croit parfois : si vous partez d'un couple de lapins et que vous voulez un élevage industriel de 1000, c'est bien plus rapide d'en acheter que d'attendre qu'ils se reproduisent. De même pour vous constituer une épargne, en principe les interêts placés sur un euro suffiraient, mais c'est quand même plus rapide de l'alimenter avec votre salaire; ce qu'on va voir en revanche, c'est qu'il existe toujours un temps au bout duquel la croissance exponentielle finit par être plus rapide que n'importe quelle croissance linéaire (et même polynomiale, incluant les carrés, les cubes.. et toutes les puissances niemes du temps )  donnée à l'avance. 

La traduction mathématique de la condition d'auto reproductivité est une équation liant la vitesse de variation , qui est mathématiquement la dérivée d A/dt , à la quantité A elle même , du type 

dA /dt = k A 

que nous appellerons "équation différentielle fondamentale".

k est dite la "constante" de l'exponentielle, elle joue un rôle très important. C'est le rapport entre la vitesse et la quantité A elle même , supposé donc constant dans l'hypothèse 

k = dA/dt / A

dimensionnellement, k doit s'exprimer comme l'inverse d'un temps , un "par unité de temps". Son interprétation est très simple, c'est juste l'accroissement relatif pendant cette unité de temps. k n'est donc autre chose que le "taux de croissance", qu'on exprime souvent en % par an : un taux de croissance démographique de 2% par an signifie que k = 0,02 an^-1. (2% = 2/100 = 0,02), exprimant que chaque année, la population croit à raison de 2 individus par 100 au départ. De même, k représente aussi le taux d'interêt d'un livret. Si vous avez un placement à 5 % par an , k = 0,05 an^-1 (le an^-1 ou "par an" est souvent omis, mais il est fondamental, ce n'est pas du tout pareil de croitre de 5 % en un an, en un jour, ou en un siècle!! )

En réalité il y a une minuscule approximation parce que k représente l'accroissement en supposant que A soit resté constant dans l'intervalle, c'est à dire en négligeant la variation de A pendant l'année par exemple. Or ce n'est pas tout à fait vrai; les interêts sont versés tous les 15 jours par exemple, la somme a augmenté pendant l'année, ce qui fait que le taux d'interêt REEL pendant un an n'est pas tout à fait k, mais en est très proche pour les "petites valeurs" de k; nous donnerons son expression exacte plus tard. 

la solution de l'equation précédente définit justement l'exponentielle. Precisément elle s'exprime par la solution 

A(t) = Ao exp (kt) 

ici on retrouve k et on a du introduire une "quantité initlale" Ao qui représente la valeur "initiale" de t au temps t=0. C'est une caractéristique universelle des équations différentielles de ne pouvoir etre résolue qu'en la complétant pas une "condition initiale".

La fonction exponentielle a plusieurs propriétés extraordinaires et joue un rôle fondamental en mathématiques. Par définition, exp(0) = 1 (en réalité la fonction exponentielle est définie comme l'unique fonction obeissant à l'équation différentielle fondamentale et dont la valeur en 0 est 1). On a donc bien A = Ao pour t =0. 

expo

Représentation de la fonction exp(x) (qui correspond à k = 1) (en trait plein rouge). Comme expliqué dans le texte, un même intervalle de temps T2 = ln(2) = 0,693 sépare tous les moments où la fonction est multipliée par 2 : ainsi les temps où l'exponentielle vaut 1/2, 1, 2, 4 et 8 sont tous séparés de T2, le "temps de doublement".

En pointillés rouges est représentée la même courbe avec une échelle mutipliée par 5 : elle est en fait obtenue en décalant temporellement la courbe initiale par ln(5). D'une certaine façon, la forme de l'exponentielle est invariante et unique : toute croissance exponentielle sera représentée par cette courbe en adaptant les échelles. Il faut mettre "1/k" au lieu de 1 en abscisse, et choisir l'ordonnée à t=0 pour que ce soit la valeur initiale A0. On retrouvera alors exactement la même courbe. 

exp(1) est un nouveau nombre , appelé simplement "e". Comme π, c'est un nombre mathématique fondamental dont la valeur numérique doit être calculée , il faut environ e = 2,718281828 (il est curieusement très facile de se rappeler les 9 premières décimales parce qu'il a la caractéristique extraordinaire de répéter 2 fois la même séquence "1828" à partir de la deuxième.. Il n'y a  qu'un nombre sur 10 000 ayant cette propriété, bizarrement très peu connue et n'ayant pas du tout intéressé les mystiques , contrairement aux décimales de π, qui en revanche n'ont elles rien d'extraordinaire.. sans doute parce que e est moins populaire parce qu'un peu plus difficile à introduire mathématiquement que pi !)

e représente le facteur d'accroissement de la quantité au bout d'un temps 1/k, l'inverse de k. Par exemple si k = 2 % par an, l'inverse de k est 100/2 an = 50 ans. Au bout de 50 ans, une somme initiale placée à 2% par an avec reversement des interêts aura augmenté de e = 2,7 environ. De même une population croissant à 2% par an aura été multipliée par e=2,7 au bout de 50 ans. 

D'une façon générale, l'exponentielle a une propriété mathématique fondamentale, l'exponentielle d'une somme est le produit des exponentielles, soit

 

exp(A+B) = exp(A) exp(B),

 

que nous appellerons "relation fondamentale" de l'exponentielle.

Une autre fonction liée est le logarithme naturel ln , qui est la fonction "réciproque" : c'est à dire que le logarithme de X est le nombre Y dont X est l'exponentielle : si X = exp(Y), alors Y = ln(X). Evidemment exp(ln(X)) = X = ln(exp(X))

en utilisant ces relations, on démontre facilement la propriété inverse du logarithme : le logarithme d'un produit est la somme des logarithmes ln(A.B) = ln(A) + ln(B). 

A partir de ces relations, nous allons établir une propriété fondamentale du comportement d'une exponentielle :

au bout d'un certain intervalle de temps ∆T, l'exponentielle est multipliée toujours par le même facteur C , qui vaut

 C = exp(k.∆T)

c'est une conséquence directe de la relation fondamentale. Si A vaut A1  à un temps t1, et A2 au temps t2=t+∆t, alors

A1 = Ao exp(k.t1) et A2 = Ao exp(k. t2) = Ao exp[k.(t1+∆t)] = Ao exp(k.t1).exp(k.∆t) = [exp(k.∆t)]  x Ao exp(k.t1) = C. A1

Reciproquement : si on se donne un facteur multiplicatif donné C à l'avance, alors ce facteur multiplicatif sera obtenu TOUJOURS AU BOUT DU MEME INTERVALLE DE TEMPS , quel que soit la valeur initiale, et ce temps vaut ∆Tc = ln(C) /k 

(en effet si C = exp(k.∆T) alors k.∆T = ln(C) ) 

La notation ∆Tc rappelle qu'il s'agit du temps au bout duquel la quantité initiale est multipliée par C.

Le lecteur un peu habile démontrera sans peine que ∆Te = 1/k (temps au bout duquel la propriété est multipliée par e).

plutot que la multiplication par e, qui n'est pas un nombre très facile à retenir, on caractérise plutot la multiplication par 2, ce qui définit le temps de doublement T2 = ln(2)/k. 

ln(2), le nombre x tel que exp(x) = 2, est un nombre qu'on peut calculer numériquement et qui vaut environ 0,693... =0,7 environ. On a donc T2 = 0,7 /k. Il est voisin de Te, mais pas exactement égal (30 % inférieur).

La règle est donc très simple : si vous avez un taux de croissance de k par an, vous doublez votre quantité au bout de 0,7 /k . Si k est exprimé en "r %", il faut en fait considérér k = r/100, ce qui fait que le temps de doublement est de 0,7/(r/100) = 70 /r

 

Ce qui donne une "règle du pouce " extrêmement simple : une quantité croissant à r % par an double tous les 70/r ans.

**********

Note qui peut etre sautée en première lecture ....

Il y a en réalité une petite approximation dans cette formule. En effet j'ai dit que k était la taux de croissance annuel, mais ce n'est pas tout à fait exact. Si on définit le taux de croissance annuel par la formule (en %) 

r = 100 . (A(n+1)-A(n))/A(n) 

où A(n) est la quantité à l'année n (au premier janvier par exemple) et A(n+1) à l'année n+1, on trouve que le vrai taux annuel est 

r = 100. [exp(k) - 1] , soit k = ln(1+r/100). 

il se trouve que exp(k) - 1 est "presque égal" à k pour les petits k, ce qui est nécessaire à la cohérence de la formule. La différence subtile entre les 2 est que k est le taux de croissance "en supposant que A soit resté constant pendant un an", (les mathématicients parlent "d'approximation tangente"),  alors que r/100 est le taux de croissance réel en tenant compte de la variation de A pendant cette année. La différence est minime pour les taux de croissance faibles (où A n'a presque pas bougé), mais elle peut devenir sensible pour les taux de croissance élevés. Pour des taux de croissance habituels de quelques % par an, on peut faire l'approximation précédente. Pour les taux plus élevés, mettons que 10 % par an, c'est plus exact de prendre une formule précise 

T2 = 0,7/ln(1+r/100)

cette dernière formule étant inutilement compliquée si on veut avoir juste un ordre de grandeur, mais elle a l'avantage de s'étendre à n'importe quel taux même très rapide.

************************

On définit souvent T2, mais en fait on peut définir un temps de multiplication par n'importe quel facteur X. Au bout de deux temps de doublements , on a par exemple une multiplication par 4, et donc T4 = 2.T2 = 140 /r. De façon générale, au bout de N temps de doublement, on a une multiplication par 2^N , et donc T(2^N) = N.T2 = N.70/r.

Par exemple en prenant N = 10, on a une mutiplication par  2^10 = 1024  soit environ 1000 (le "kilo" des informaticiens), au bout de 10 temps de doublement soit au bout de 700/r années.

Avant de conclure pour passer aux conséquences pratiques de ces formules, quelques remarques 

a) On voit qu'une exponentielle peut etre caractérisée aussi bien par son taux de croissance, que par son temps de doublement (ou de multiplication par X quelconque). En réalité une exponentielle est entièrement caractérisée par une de ces quantités qui sont univoquement liées. Par exemple au lieu de "l'économie croit de 2% par an", on pourrait tout aussi bien dire "l'économie est sur un rythme de doubler en 70/2 = 35 ans". L'exponentielle EST un taux de croissance , et EST tout aussi bien un temps de doublement, d'une certaine manière, ce n'est QUE CA. Son seul paramètre libre qui la caractérise est le taux de croissance k, ou bien tous les temps associés. Il faut vraiment "penser" l'exponentielle comme "un temps de doublement caractéristique", si on veut vraiment réaliser ses propriétés.

b) toutes les formules précédentes s'appliquent aussi au cas où k est négatif, ou plutot en remplaçant dans l'équation k par -k. Dans ce cas la vitesse de variation est négative et la quantité A DECROIT au cours du temps : il s'agit d'une "décroissance exponentielle". C'est le cas par exemple de la radioactivité qui décroit exponentiellement avec le temps, les noyaux disparaissant petit à petit et le nombre de désintégration étant proportionnel à la quantité restante. Tout ce qui a été dit reste valable à quelques modifications près, et en particulier en remplaçant des multiplications par X par des divisions par X. Le temps T2 représente alors le "temps de demi-vie" où la quantité est DIVISEE par deux. 

c) Il y a un cas limite trivial, celui où k = 0. Dans ce cas la vitesse de variation est nulle, ce qui signifie que A est stationnaire. Le régime stationnaire peut être considéré comme un cas limite de croissance exponentielle.... de taux de croissance nul, et de temps de doublement infini ! 

 

 

 

 

 

 

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8 juillet 2011 5 08 /07 /juillet /2011 08:04

Quelques discussions précédentes me conduisent à attirer l'attention sur un point délicat de la "lutte contre les gaz à effet de serre (GES) ", point qui pourrait être considéré comme un seul problème de vocabulaire, mais en réalité recouvre une réalité essentielle qui explique facilement pourquoi la "luttre contre les GES" parait aussi inefficace. Il est dans le sens du mot "réduction".

En effet l'économie est considérée comme l'étude (j'ose à peine dire science) de la production de biens (matériels et immatériels), son but affiché étant de trouver la manière de l'optimiser. L'idée générale de la lutte contre les GES est que l'accumulation de CO2 étant nuisible à la qualité de la vie humaine, il convient de "réduire " au maximum leur production. Mais réduire quoi , au juste ?

Il y a en effet trois quantités très différentes qu'on peut considérer :

* la quantité de CO2 produite par unité de service rendu. C'est ce que mesure par exemple la consommation d'une voiture, en mesurant le nombre de grammes de CO2 / km parcouru. Cette quantité sera appelée "l'intensité carbonée" de l'économie, elle mesure "l'efficacité" (ou plutot ici l'inefficacité) avec laquelle nous utilisons nos fossiles pour produire des biens utiles. Pour la mesurer quantitativement, on peut par exemple la ramener à la consommation par unité de PIB . Supposons qu'elle a une valeur moyenne I , qui s'exprimera par exemple en g CO2 / $ de PIB. 

* la production annuelle de CO2 , celle qui figure le plus souvent dans les bilans nationaux et mondiaux: cette fois on ne mesure pas l'intensité par unité de biens produits, mais la quantité totale produite. Elle dépend bien évidemment de la richesse. Deux pays peuvent avoir des intensités carbonées très proches , mais des économies très différentes. Les Etats Unis par exemple ont une intensité carbonée proche de la moyenne mondiale, proche de celle de nombreux pays africains, mais produisent bien plus de CO2 parce qu'ils sont juste bien plus riches ! cette quantité est donc le produit de la précédente I par le PIB P .

C = I x P 

* la quantité TOTALE de CO2 qu'on produira dans l'histoire de l'humanité . Cette fois, c'est la quantité précédente (production annuelle) multiplié par le temps qu'on les extraira. La consommation est variable avec le temps, la quantité pertinente est l'intégrale de C(t), mais en prenant la consommation moyenne sur une période, ça revient à prendre 

Q = C x T = I x P x T

 

La quantité totale de CO2 est donc le produit de TROIS grandeurs : l'intensité carbonée, le PIB produit, et le temps pendant lequel on va les bruler.

Quand on parle de "réduire", que réduit-on alors ?

le plus souvent, on ne réduit que le premier facteur ! on va chercher par exemple à développer des voitures qui "produisent moins de CO2" (ou par exemple des voitures électriques), c'est à dire chercher à minimiser la production de CO2 pour un bien donné.

Il est évident que pour que ça se traduise automatiquement par une baisse de Q, il faut que ça se fasse à P et T constant. C'est à dire que l'amélioration ne se traduise ni par une augmentation de P, ni par une augmentation de T, qui annihilerait l'effet des efforts fournis. En réalité les efforts fournis ne sont pas inutiles, puisque diminuer I permet d'augmenter P x T , c'est à dire la richesse produite avec la quantité de fossile utilisée mais sans faire varier celle-ci ! pour le dire plus simplement :

l'amélioration de I conduit-elle à consommer finalement MOINS de fossile pour LA MEME richesse produite, ou bien AUTANT de fossile pour PLUS de richesse produite ?

Un instant de réflexion permet de se rendre compte que c'est bien évidemment toujours la deuxième solution qui est privilégiée. Car personne à ma connaissance ne propose de limiter explicitement la richesse mondiale, en interdisant au PIB de croire au-delà d'une certaine valeur, et encore moins d'arrêter de produire des richesses après une certaine date ! 

Une remarque aussi simple est en général totalement occultée par le fait que les économistes partent de scénarios de croissance économique postulée à l'avance , et calculent ensuite la consommation énergétique associée. Cela revient à dire que P est effectivement fixée et sera insensible à la variation de I , mais cette hypothèse n'est pas tenable.

 

En effet tout montre que le monde entier a très largement les besoins d'accroissement de richesses suffisants pour "avaler" tous les progrès faits dans l'intensité énergétique, et que personne n'a les moyens ni les droits pour l'empêcher. La première moitié des ressources d'hydrocarbures est consommée par environ 15 % de la population mondiale, la seconde moitié par 85 % , donc plus de 5 fois plus , qui consomment donc 5 fois moins d'énergie en moyenne par habitant. Meme si l'Occident divisait par 2 sa consommation, ce qui est énorme, ça ne libérerait que 10 % de consommation pour les autres. Ce n'est pas énorme, mais c'est toujours ça : qui empêcherait alors les indiens et les chinois de se précipiter sur les ressources énergétiques qu'on leur laisse consommer ? bien évidemment personne. Pour reprendre l'exemple des voitures, cela voudrait dire qu'en construisant des voitures plus économiques, on limite aussi arbitrairement (à combien ?) le nombre de voitures en circulation. Si cela peut avoir un sens en Occident où les besoins en équipement de voitures sont essentiellement remplis, et où donc les politiques de réduction de la consommation peuvent avoir un effet réel sur la consommation totale, on en est en revanche très loin au niveau mondial : seul 20 % de la population mondiale a accès à un parc automobile.

[EDIT] pour illustrer ce fait, je place ici un graphique tiré du site de Jancovici, montrant l'évolution du PIB et de la consommation énergétique de l'OCDE. On voit que le PIB a augmenté plus vite que la consommation et la production de CO2, donc que I a bien diminué, mais nullement Q, car P a encore plus augmenté ! ça illustre donc exactement ce que je développe

http://www.manicore.com/documentation/serre/croissance_graph6.jpg   

Penser limiter le temps T est encore plus absurde. Si on fait des économies d'énergie, on consomme moins (à supposer que le phénomène précédent ne se produise pas , ce qui n'est nullement acquis). Et donc on épuise moins vite les gisements de gaz, de pétrole et de charbon. Est ce que pour autant, on va arrêter de les exploiter après le temps normal auquel ils auraient été épuisés si on avait rien fait  ? autrement dit, si un gisement avait été épuisé en 20 ans sans mesures d'économie, et que les mesures d'économie conduisent à prolonger son existence de 10 ans, est ce qu'on arrête quand même au bout de 20 ans de l'exploiter sous pretexte qu'on en aurait plus eu si on avait rien fait , et qu'on va donc laisser 1/3 du gisement sous terre sans plus jamais y toucher ? bien évidemment que non, pour tout un tas de raisons évidentes. D'abord que la situation "si on avait rien fait" sera totalement virtuelle et que personne ne serait capable de dire quand il aurait été épuisé, et ensuite que même si on le savait, on ne voit pas pourquoi l'exploitant arrêterait volontairement de l'exploiter ni pourquoi les clients s'arrêteraient d'en demander pour cette seule raison.

 

Autrement dit, les fossiles étant une ressource finie, on ne fait que retarder le moment de leur épuisement, sans changer leur quantité totale.

 

En réalité, la situation est pire que ça, parce que paradoxalement, l'amélioration de I conduit en général de façon suprenante à AUGMENTER la quantité totale de fossiles extraits; cette assertion a première vue surprenante avait été pourtant notée dès le XIXe siecle par un économiste, William Jevons, est connu sous le nom de "paradoxe de Jevons" ou "effet rebond". En effet, améliorer I conduit en général à diminuer les coûts d'extraction et faciliter la production de ressources de plus en plus chères, et les rend donc de plus en plus rentables. On le voit par le fait que des techniques de plus en plus efficaces conduisent à aller chercher du pétrole de plus en plus difficile et cher , et donc AUGMENTE la quantité ultime qu'on en extraira. De plus, plus l'intensité énergétique I est faible, plus la richesse produite par unité de fossile est grande, et donc plus il coûte cher de ne pas les extraire.

L'ironie est en réalité que la société moderne n'a jamais cessé d'améliorer son efficacité énergétique (ou plus exactement sa productivité) et que c'est la raison essentielle de sa croissance, y compris en absolu, de sa consommation énergétique. Il est particulièrement étrange de présenter comme une SOLUTION ce qui n'a été en réalité que la CAUSE du problème. Si nous avons autant fait croitre notre consommation énergétique, c'est JUSTEMENT parce que nous avons constamment amélioré nos procédés (y compris d'extraction énergétique) et donc rendu notre machine thermo industrielle de plus en plus optimisée et efficace. L'améliorer encore ne fera que la pousser de plus en plus loin.

Qu'est ce qui la limitera ? la seule chose qui peut le faire, c'est la DIMINUTION de la productivité, et cette diminution n'a aucune raison d'intervenir de manière volontaire, cela reviendrait à faire diminuer volontairement notre efficacité à produire les richesses, ce que personne ne demande et que personne ne fera jamais. La productivité ne diminuera que par la raréfaction des ressources, qui interviendra tôt ou tard, et inversera le mouvement général de croissance économique. Mais ce ne sera certainement pas un choix fait volontairement de gaîté de coeur. 

 

 

 

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Published by climatenergie - dans Economie
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21 juin 2011 2 21 /06 /juin /2011 21:05

Si la Grèce a été historiquement une des civilisations ayant le plus compté dans la formation de la culture européenne, elle pourrait malheureusement être aussi un modèle du futur de notre société. La finance mondiale a les yeux rivés sur ce petit pays méditerranéen, qui menace toute la zone euro de sa faillite. Derrière lui, le Portugal, l'Espagne, peut-être l'Italie, et pourquoi pas la France, se voient menacés à plus ou moins court terme d'un sort analogue.

 

De quoi souffre ce pays? "bêtement", oserais-je dire, d'une crise de surendettement, comme un ménage asphyxié par les nombreux emprunts qu'on lui a trop généreusement consenti. Mais pourquoi devient-on surendetté ?

Un endettement, c'est d'abord et avant tout un pari sur l'avenir. L'emprunteur estime qu'il va gagner A dans le futur, mais aimerait disposer un peu plus tot de la richesse qu'on lui promet. Il s'arrange donc avec un prêteur , qui lui pense gagner B, pour qu'il lui transfère une partie de son gain, en le remboursant avec interêt. Il est de bon ton de se plaindre des taux d'interêt, mais c'est quand même la moindre des choses : après tout B se dessaisit d'une partie de son pouvoir de consommation ou d'investissement qui aurait pu lui rapporter, et donc il est normal qu'il soit payé en retour, sans même compter l'inflation qui va diminuer la valeur des remboursements futur. Donc au total l'emprunteur accepte de gagner un peu moins à la fin, A'<A , mais a eu le plaisir de profiter plus longtemps de sa consommation. Pour le prêteur c'est l'inverse.

En réalité, si B est une banque, ce n'est pas tout à fait ça qu'il se passe, parce que B ne renonce à aucune consommation du tout ! elle ne prend en effet l'argent nulle part, elle le crée ex nihilo comme la loi l'autorise tout à fait légalement , en créditant le compte de l'emprunteur, sans débiter personne ! et il sera ensuite redétruit par le remboursement. Ce système parait ahurissant mais il est en réalité tout à fait adapté à l'économie moderne : il assure la création et la destruction perpetuelle de la masse monétaire,  ce qui permet de l'ajuster en souplesse à l'économie réelle, en particulier de contrôler l'inflation en ouvrant et fermant le robinet du crédit. Certains pensent voir dans ce système l'origine de tous les maux de l'économie, mais il a fonctionné en fait parfaitement pendant un siècle en assurant une croissance sans équivalent dans l'histoire de l'humanité. Si il a un défaut, ce n'est donc certainement pas d'être inefficace ! 

 

Alors où est le problème? le problème, c'est comme je disais , c'est que ça comporte un pari sur l'avenir : que le débiteur va pouvoir rembourser le créancier ! et donc il prend un certain risque, et le créancier aussi. Si le débiteur fait faillite, il va falloir que quelqu'un paye à sa place. Ce sera le créancier qui a perdu l'argent prêté - ou si un état compatissant crée de la monnaie juste pour le rembourser, ce sera l'ensemble de la population qui se cotisera par l'inflation créée par cette somme supplémentaire non détruite, qui augmentera finalement la masse monétaire , et donc diminuera le pouvoir d'achat de la monnaie.

 

Le surendettement est, tout simplement , un pari raté. 

Est ce la faute de l'emprunteur qui a eu les yeux plus gros que le ventre? au créancier qui lui a trop fait confiance ?  à la société qui n'a pas su mettre des règles? chacun pensera comme il veut, mais le pari est raté, et il faut payer. Il faut payer parce qu'on a en fait autorisé quelqu'un à dépenser plus que ce à quoi il avait droit, il a mangé plus que sa part, et du coup, il faut que quelqu'un se dévoue pour abandonner une partie de la sienne.

Voilà, les Grecs, pris dans l'euphorie de leur adhésion à l'union européenne et à l'euro, ont cru qu'ils pourraient dépenser plus et on les a crus. A tort. Et il faudra qu'on paye à leur place, d'une manière ou d'une autre.

Parce que comme le surendettement est dû à une croissance insuffisante du revenu qui aurait pu payer l'emprunt, le surendettement des pays est dû à une croissance économique insuffisante. On n'a juste pas produit les richesses supplémentaires qu'on pensait. Dommage. La seule solution à la dette, c'est la relance de la croissance, tous les économistes le serinent. Parce que le seul problème, c'etait l'absence de croissance.

 

Oui mais ... pourquoi elle redémarre pas, cette satanée croissance ? ben à cause de la crise. La crise? ben oui, la crise du crédit. Ah mais .. encore une crise du crédit? mais pourquoi y a-t-il eu une crise de crédit ? 

Alors voilà le point bizarre. Ce qui s'est passé juste avant, c'est un phénomène inattendu, la flambée du baril et corrélativement, le plafonnement de la production pétrolière. Phénomène que seuls quelques hurluberlus avaient annoncé, auquel personne ne croyait. Mais non, le pétrole , y en a plein sous terre, pour 40 ans au moins, et depuis le temps qu'on nous annonce sa fin.....

Sauf que le pétrole, c'est de l'énergie, des transports, c'est le sang de l'activité industrielle. Et si le pétrole plafonne, on est gêné pour faire croître la richesse. On trouve encore des doctes économistes pour nous dire que ça n'a rien à voir, que l'économie n'a plus besoin d'énergie .... la coïncidence est quand même plus que troublante ! 

Mais enfin, dira-t-on, on n'a jamais été en manque de pétrole ! les pompes n'ont jamais été à sec ! il n'y a jamais eu de queues au pompes à essence ! Non, il n'y en a pas eu, et il n'y en aura jamais. Pour une raison très simple, les stocks pétroliers sont amplement suffisants pour éviter toute disruption, sauf conflit majeur au Moyen Orient (pas exclu par ailleurs mais on n'y est pas encore). Ce qu'il s'est passé, c'est une tension croissante sur les prix, les menaces d'une reprise de l'inflation, le relèvement des taux d'interêts, et des ménages américains eux aussi "surendettés", pris à la gorge entre des prix croissants de l'énergie, des taux immobiliers indexés sur les taux du marché, la baisse d'activité entrainée par ces taux et faisant monter le chômage... le système a cédé à son maillon le plus faible, le système des subprimes. Il aurait cédé ailleurs sinon. 

Mais il nous a laissé sur les bras tous les paris sur l'avenir ratés qu'on avait fait. L'Islande, l'Irlande, ont déjà bu une tasse amère. Ce n'est pas fini. Les pays du sud suivent sur la liste, et les grandes économies occidentales ne sont pas loin. La crise n'a été surmontée qu'au prix d'une hausse considérable de l'endettement des états, préparant une nouvelle bombe à retardement. Nous n'avons rien réglé, bien au contraire. Et les prévisions de la production pétrolière ne sont pas à la fête, comme je le développerai dans un prochain post. Accrochez vos ceintures ....

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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