Overblog Suivre ce blog
Editer l'article Administration Créer mon blog
2 août 2011 2 02 /08 /août /2011 21:00

Dans le post précédent, nous avons revu quelques propriétés mathématiques de l'exponentielle. Certains commentaires m'ont fait sentir d'ailleurs que le ton était un peu trop "leçon de maths" , et qu'il avait découragé certains de le lire :). Je vais donc résumer brièvement ces propriétés, dont la plus importante, la seule à vrai dire qu'il faut retenir, est la suivante :

Une exponentielle est une fonction (en fait l'unique fonction,  à un facteur d'échelle près),  qui a la propriété fondamentale suivante : elle est multipliée par un facteur constant, à chaque fois qu'on avance d'un intervalle de temps constant.

Autrement dit il y a une relation unique et déterminée entre un intervalle de temps Tc donné, et un facteur multiplicatif C correspondant de la variable. Il y a un intervalle caractéristique correspondant à une multiplication d'un facteur 2, (le temps de doublement T2),  un autre par une multiplication par 3, ou par 10, ou par 1000.... Chaque fois qu'on passe un temps T2 par exemple, l'exponentielle double, en passant de 1 à 2, puis de 2 à 4, puis de 4 à 8 ....

L'intervalle de temps Tc correspondant à une multiplication par C est donné par

Tc = ln(C)/k 

ou inversement

C = exp(k.Tc)

      où k est le coefficient caractéristique, le "taux de croissance" de l'exponentielle (ln est la fonction logarithme népérien, qui est la fonction réciproque de l'exponentielle : si y = exp(x), alors x = ln(y) ). 

le seul paramètre libre est la constante k, qui est le taux de croissance de l'exponentielle. Numériquement lorsque t est mesurée en année, k est (pratiquement) le taux de croissance en % ( à r% /an, k = r/100).

ces formules peuvent s'appliquer pour n'importe quel C, avec le Tc correspondant, mais pour fixer les idées on prend souvent C = 2, ce qui permet de définir le temps de doublement T2 = ln(2)/k = 70/r ans environ.

Au bout de 10 temps de doublements, la quantité sera multipliée par 2^10 = 1000 environ (ça revient à prendre C = 1000, et T1000 = 10*T2)

Appliquons maintenant ces principes à une croissance économique, avec des taux "raisonnables" considérés par les économistes :

* si r = 2 % par an, le temps de doublement est de 70/2 = 35 ans. La quantité sera multipliée par 1000 en 350 ans.

* si r = 5 % par an, le temps de doublement est de  70/5 = 14 ans. La quantité sera mutlipliée par 1000 en 140 ans.

* si r = 10 % par an, le temps de doublement est de  70/10 = 7 ans. La quantité sera multipliée par 1000 en 70 ans.

A cause du caractère multiplicatif à chaque étape, l'exponentielle devient rapidement vertigineuse dès qu'on dépasse quelques temps de doublement. Prenons l'exemple de +2 % /an, un taux a priori anodin et meme jugé faiblard par les économistes . Comme nous avons dit, cela correspond à une multiplication par 1000 en 350 ans, et donc par 1000^3 = 1 milliard en 1000 ans environ, par un milliards de milliards au bout de 2000 ans (attention pas par deux milliards, mais bien par un milliards de milliards), etc....

http://www.futura-sciences.com/uploads/RTEmagicP_01_txdam17399_38bc8f.jpg

Image de l'échiquier et des grains de blé - Crédit Futurasciences

 

Cette progression a été illustrée dans une parabole connue, celle de l'échiquier. Probablement imaginaire, cette histoire raconte que l'inventeur du jeu d'échec (supposé avoir été inventé dans un pays musulman, mais il l'a plutot probablement été en Inde) aurait demandé au calife qui voulait le récompenser de lui donner "juste" un grain de blé sur la première case, deux sur la deuxieme, quatre sur la troisieme, etc... en doublant à chaque fois le nombre. On reconnait le calcul exponentiel, le saut d'une case etant l'analogue du passage d'un temps de doublement. Ravi de la modestie de la demande, le calife ordonna qu'on la satisfasse immédiatement .. à la désolation de l'intendant qui s'aperçut qu'il fallait 1+2+4 ... =2^64-1 = 18 446 744 073 709 551 615 (voir le calcul ici par exemple) grains de blé, représentant des centaines de milliards de tonnes, plus de mille ans de production de l'époque ! et quelques cases de plus aurait encore multiplié ce nombre par 10, 100 ....

Appliquons le meme calcul à l'énergie. La puissance actuelle consommée par l'humanité est d'environ 10 Gtep par an, ce qui converti en watts (les lecteurs me feront confiance) correspond à environ 13 000 GW (milliards de W) ou 1,3 10^13 W. C'est beaucoup, mais la puissance du Soleil est d'environ 3,8 10^26 W soit environ 30 000 milliards de fois plus. On est donc très loin de consommer la puissance du Soleil... mais au rythme de 2% par an, nos besoins atteindraient la puissance entière du Soleil en 1300 ans environ. 1300 ans de plus, et nous aurions besoin de 30 milliards de Soleil , pratiquement toutes les étoiles de la galaxie. Encore 1300 ans de plus , nos besoins reviendraient à capter l'énergie de dizaines de milliards de galaxies, pratiquement tout l'Univers visible. En meme pas 5000 ans de croissance à 2% par an, nous aurions donc besoin de toute l'énergie disponible dans l'Univers.

Or 5000 ans, c'est beaucoup, mais ce n'est pas ENORME dans l'histoire de l'humanité. C'est à peu près la date de l'Histoire, depuis l'invention de l'écriture à Sumer puis un peu après en Egypte. L'espèce humaine est bien plus vieille, plusieurs centaines de milliers d'années pour l'homo sapiens, plusieurs millions d'années pour le genre homo. 5000 ans, c'est une durée ridiculement courte par rapport à l'évolution des espèces.

 

J'emprunte sans vergogne un graphique à un blog anglo saxon que je viens de découvrir, très voisin du mien puisqu'il est tenu par un astrophysicien et développe des considérations mathématiques et scientifiques sur les problèmes de l'énergie et de l'environnement :). Il fait à peu près le même calcul avec un taux un peu différent (2,3 % /an au lieu de 2%), mais aboutit bien sûr aux même conclusions qualitatives : nous épuiserions la puissance totale du Soleil en un peu plus de 1000 ans, celle de la galaxie en un peu plus de 2000 ans. Ce graphique est tracé avec une échelle logarithmique pour les ordonnées, chaque unité représente un facteur 10 de plus. Avec une échelle logarithmique, l'exponentielle apparait linéaire - mais cela traduit toujours la même chose, un facteur multiplicatif constant à chaque fois qu'on progresse d'un pas de temps constant. Sont représentés : la puissance correspondante à 20 % de la puissance solaire incidente sur les terres émergées, celle correspondant à 100 % de cette puissance, puis 100 % de la puissance totale arrivant sur la planète, la puissance totale du Soleil, et la puissance de la Galaxie. Par comparaison, les périodes de temps historiques dans le passé correspondant à l'intervalle de temps qu'il faudrait parcourir pour atteindre ces limites. 

http://physics.ucsd.edu/do-the-math/wp-content/uploads/2011/07/galaxy.png

 


Bref la conclusion est claire, une croissance énergétique à 2% par an produit des chiffres totalement absurdes après quelques siècles, et conduirait en quelques millénaires à épuiser l'ensemble des sources d'énergie de l'Univers visible. 

Pourquoi ne nous en sommes pas encore aperçu ? la réponse est simple : parce que la civilisation industrielle n'a qu'un peu plus de 200 ans, et 200 ans, ce ne sont QUE SIX temps de doublement à 2% par an, soit "juste" un facteur 100 environ (64 pour etre précis, mais on est dans l'ordre de grandeur). C'est effectivement ce qui s'est passé : grosso modo, par rapport à l'époque préindustrielle, on a une population 10 fois plus nombreuse et une consommation par habitant aussi 10 fois plus grande.

Un facteur 100, c'est beaucoup, mais c'est encore supportable ... la preuve !  100 , ce n'est pas "démentiel". Le seul problème est qu'une nouvelle période comme celle-là ferait au total un facteur 100*100 = 10 000 (soit 100 fois la consommation actuelle), et encore une de plus conduirait à  10 000 fois la consommation actuelle. Bien avant d'arriver aux milliards , on se rend compte que c'est déjà inimaginable. La civilisation industrielle a DEJA épuisé pratiquement totalement son potentiel de croissance, et nous sommes DEJA a la limite de ce qui est supportable. Un simple facteur 2, c'est à dire rappelons le 35 ans de croissance à 2%, est déjà quelque chose qui parait assez ardu à réaliser.

Il faut bien comprendre que ce phénomène n'est pas spécifiquement du à la civilisation industrielle, mais aux propriétés de l'exponentielle. D'une façon générale, et quel que soit le phénomène, une exponentielle ne peut durer raisonnablement que quelques temps de doublement. Une dizaine de temps de doublements conduit déjà à un facteur 1000. Plusieurs dizaines conduisent à des nombres physiquement totalement déraisonnables.

Si on résume ce qui vient d'etre calculé, c'est qu'une exponentielle impose son échelle de temps caractéristique, qui est en ordre de grandeur l'inverse de son taux de croissance 1/k, et qu'elle impose des limites qui sont de quelques fois 1/k. 

Il y a une remarque à faire, que j'ai très rarement, si ce n'est jamais vue clairement exposée. On n'a jamais dit clairement pourquoi c'etait un taux de quelques % par an qui était "bon" pour l'économie. Pourquoi pas 10 fois plus ou 10 fois moins ? la réponse me parait assez naturelle : un taux de quelques % par an correspond à un temps de doublement de quelques décennies, c'est à dire à peu près une vie humaine. Ca a une conséquence très importante : c'est qu'une croissance éconmomique de quelques % par an a pour conséquence l'amélioration sensible de la condition de vie des gens PENDANT LEUR VIE. Ce n'etait pas du tout le cas avant. La croissance préindustrielle était bien plus lente et surtout bien plus fluctuante, avec des périodes de régressions à peu près comparables à celles de croissance, et en moyenne, les gens mouraient dans le meme monde que celui où ils étaient nés. La période extraordinaire que nous avons connue est extraordinaire justement parce que , pour la première fois dans l'histoire de l'humanité, les humains ont vu leur condition changer spectaculairement pendant leur vie - ce qui n'etait possible qu'avec ces taux de croissance de quelques % par an. Notons que des croissances bien plus rapides (et la croissance de 10 % /an comme en Chine, c'est déjà beaucoup) conduirait à des changements tellement rapides qu'ils pourraient ne plus etre gérables dans une vie humaine. L'optimum est donc bien un temps de doublement "à peu près " comparable à la vie humaine.

Mais ... il y a un hic... un GROS hic. Un ENORME hic. C'est que si on désire avoir un temps de doublement comparable à la vie humaine, d'après les considérations précédentes, cela signifie que cette période ne peut durer que quelques générations, ou bien on retombe dans l'absurdité des nombres immenses. Autrement dit, la croissance industrielle de quelques % par an porte en elle-meme sa finitude temporelle. C'est PARCE QUE nous avons voulu que notre vie s'améliore de manière visible, dans l'espace d'une vie que cette amélioration est par essence finie, et ne pourra jamais concerner que quelques générations. L'espoir d'une croissance sur des millénaires est totalement impossible à réaliser.

Dans la suite, je répondrai d'avance aux objections que je connais déjà, à savoir : oui mais tout ça ne concerne que des limites MATERIELLES, mais qu'est ce qui empeche de faire une croissance IMMATERIELLE qui n'est pas soumise aux limites physiques ? je montrerai qu'une croissance immatérielle infinie est tout aussi impossible qu'une croissance matérielle. Et ensuite, nous essayerons de répondre à la question : mais si la croissance ne peut pas durer, alors que va-t-il se passer ensuite ? 

 

  

Partager cet article

Repost 0
Published by climatenergie - dans Economie
commenter cet article

commentaires

chria 04/08/2011 20:41


@gilles : je crois que vous vous êtes trompé de posteur sur votre message, qui venait de skept.
J'ai d'ailleurs réagi au mot contraindre dessous.


chria 04/08/2011 20:22


Je voulais dire : "On est donc PAS obligé d'avoir toutes les données..."

Skept, je plussoie votre post, surtout le paragraphe où vous vous essayez à l'écriture de texte futur, j'adore. Sur la croissance aussi.
Attention maintenant j'ai l'impression que notre discussion dérape entre deux monologues.
Pour revenir au débat sur le climat, je conçois que d'imaginer les impacts futurs d'un changement climatique sur une humanité en constante évolution puissent paraître totalement illusoire.
Pourtant, tout ces exercices de prospective ont bien un intérêt, comme j'ai essayé de le souligné dans un post précédent section nuitées touristique : un intérêt présent, actuel, pour nos prises de
décisions. Le fait de savoir qu'on a plus de probabilités d'aller dans un sens plutôt que un autre nous aide. Et si on se trompe ? Tant pis. On est assez intelligent pour ne pas prendre de décision
irréversible face à un problème prédit. Et petit à petit, chaque élément du système prenant des décisions en fonction des directions qu'il estime les plus probables, on finit par être mieux équipé
pour réagir face aux problèmes. Tout ça nous donne une conscience du monde en évolution, de manière constructiviste.
La certitude, laissons cela aux dogmatiques, la priorité des actions, aux têtus.


skept 04/08/2011 18:19


(Heu, plutôt le "bicentenaire")


skept 04/08/2011 18:08


Chria : je pense bien sûr qu'il y a des besoins et des tendances dans la nature humaine. Mais je souligne la diversité de leurs expressions chez les individus et les sociétés, ou selon les lieux et
les époques. Cette plasticité est étonnante.

Pour illustrer mon propos, prenons le taux de croissance. Les premiers économistes mentionnaient la croissance nulle comme horizon (cf mon message ci-dessus), mais ne s’en formalisaient pas
tellement. Le PIB a été créé tardivement, après la crise de 1929. Il ne s’est réellement généralisé comme agrégat et invité dans les débats qu’à partir de Trente Glorieuses. C’est une convention
récente, de nature transitoire. Il a déjà beaucoup de défauts reconnus, cf le rapport Stiglitz de 2008.

L’idée que la croissance du PIB est la question collective fondamentale des humains ressemble plus à un trait de notre époque qu’à un caractère profond de la nature humaine. Pendant 200.000 ans,
cela n’a pas été central ; cela fait seulement 200 ans, et encore plutôt 60 ans que l’on s’interroge beaucoup là-dessus. Et même aujourd’hui, l’immense majorité des humains ne sait pas ce qu’est un
PIB, son problème réel est d’avoir un plat et un toit demain ou l’an prochain, quelles que soient les hypothèses concurrentes sur l’économie, l’énergie, etc.

Aujourd’hui, avec notre rationalité limitée (surtout si l’on parle de la rationalité d’un économiste :-), nous voyons dans le PIB une bonne approximation du bien-être collectif. Mais c’est une
approximation, beaucoup d’indicateurs particuliers de bien-être ne sont pas spécialement corrélés au PIB une fois passé un certain seuil (donc la poursuite vers un maximum n’a pas de sens, on doit
plutôt faire une réflexion sur cette notion de seuil), et il existe par ailleurs des moyens non-économiques (non énergétiques) pour réaliser des gains sur ces mêmes indicateurs de bien-être. A
énergie égale, on meurt moins de famine dans une société démocratique ou on crée plus de valeur dans une société éduquée, par exemple. Il y a là de quoi occuper beaucoup de nos efforts…

Donc, il n’y aurait de stupéfiant à trouver dans un journal de 2135 l’extrait suivant :

« Dans un cercle étroit de spécialistes, on fête cette année le centenaire du PIB. Cela ne vos dit rien ? Pour vos arrière-grands-parents, ces trois lettres étaient l’alpha et l’oméga de
l’existence. L’équivalent de ce que nous désignons aujoud’hui par l’indice de qualité relationnelle ou ce genre de barèmes quantitatifs qu’à vrai dire nous n’utilisons plus guère depuis que
l’optimex individuel s’est imposé. Ce produit intérieur brut était simplement la somme des valeurs ajoutées de la production annuelle d’un pays. Nos ancêtres étaient persuadés que notre principal
problème serait de posséder chacun 5 logement plutôt que 4, ou 17 voitures plutôt que 16 – pour les plus jeunes lecteurs, une voiture était un objet d’une tonne qui vous donnait de grandes chances
de périr en heurtant un objet similaire et que vous preniez alors même pour faire 200 mètres. On est toujours stupéfait du caractère rudimentaire des époques passées, mais il ne faut pas en rire :
ainsi vont nos croyances, qui se dévoilent comme telles une fois qu’elles sont mortes ou à l’agonie. Prenez le grand débat actuel sur la génération VIII… etc etc »

La croissance, c'est sûrement le produit d'une tendance forte inscrite dans nos boucles cortico-limbiques – un cerveau énergivore qui tire plaisir de projets énergivores – mais en vertu de la
plasticité cérébrale, ces boucles se modifient en fonction des inputs. Si les inconvénients l'emportent dans une certaine trajectoire, la recherche du plaisir ne va pas disparaître, simplement
ré-orienter son objet ou sa méthode.


climatenergie 04/08/2011 19:32



heeem... Skept je suis évidemment d'accord sur le caractère très récent, et forcément transitoire (comme je le démontre) , de l'interêt pour la croissance et le PIB. Mais je doute fort que sa
disparition "par force" soit vraiment vécue dans la bonne humeur ou l'indifférence comme tu as l'air de l'imaginer. Pour 5 milliards d'etres humains qui seront à terme 7 ou 8, il ne s'agit pas du
tout d'avoir plusieurs voitures mais juste une, de ne pas loger à 5 dans la même pièce, et pour les plus pauvres, de cultiver avec autre chose que ses mains nues et ses outils rudimentaires; la
croissance a d'abord et avant tout été de sortir de cet état, avant d'être une croissance de riches. L'arrêter, et la faire redecroitre, signifiera probablement la perte définitive de ces
populations de jamais accéder au confort occidental, et la régression d'une autre partie. Difficile d'imaginer que ça se fasse dans la joie et la bonne humeur, voir mon billet sur les indignés. 



chria 04/08/2011 16:47


@skept : Prévoir ou contraindre, c'est peut-être bien la même chose ! Mais attention Asimov voulait limiter les paradoxes d'autoréférence, il a donc séparé l'objet d'étude et les étudiants...
J'essaye juste de répondre à la question de Gilles "alors que va-t-il se passer ensuite ?", tout en sachant qu'on ne peut pas être juge et partie.
Les émergences c'est bien gentil, mais il existe aussi des résurgences, issues de notre condition animale et de notre mode de vie de l'époque. Les peurs irrationnelles, les maladies mentales
actuelles, sont souvent en partie issues de la divergences entre ce qui s'est inscrit en nous pour la survie, et l'illusion du monde actuel fourni par la société moderne, le décalage entre ce qu'on
a été, ce qu'on est et qu'on veut être.

Enfin, sur la complexité d'un système, il faut savoir par ex qu'en montagne, sur une précision de l'ordre du degré, 70% de la variabilité de la température dépend de l'altitude.
On est donc obligé d'avoir toutes les données sur un système complexe pour entrevoir son comportement dans un contexte bien précis et en fonction de problématiquee et d'objectife tout aussi
précis.

En fait, pas besoin de psycho-histoire : l'humanité passe son temps à se demander ce qu'elle va bien faire et comment elle va le faire. Mais en cas de crise ? Je pense que le facteur "résurgence"
aura son importance.


climatenergie 04/08/2011 21:54




Chria, ça dépend ce que veut dire "contraindre" : contraindre dans des fourchettes précises, certainement pas. Contraindre par des limites physiques qui posent des bornes supérieures, oui,
certainement : les considération sur la croissance "sur plusieurs siècles" sont de cet ordre. Ca ne dépend pas de détails fins de la "psychohistoire", ce sont des considérations générales
s'appliquant indisctinctement à tous les systèmes naturels.